Danh sách 8 các dạng vô định toán cao cấp tốt nhất bạn nên biết

Kiến thức bổ ích được tổng hợp khách quan về các dạng vô định toán cao cấp đầy đủ và vô cùng thú vị được biên soạn bởi bantinnoithat, đừng quên chia sẻ bài viết này nhé.

Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các bạn tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng: $infty/ infty$. Đây là một trong những dạng giới hạn vô định thường gặp khi giải toán. Trong chuyên đề này thầy đã có một bài giảng tìm giới hạn dạng không trên không – $0/0$ gửi tới các bạn thời gian trước. Bạn nào chưa xem thì có thể ghé qua để cổ vũ thầy. Nội dung của dạng giới hạn vô định hôm nay có nội dung như sau:

cách tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Cho hàm số $y=frac{f(x)}{g(x)}$ với $lim limits_{x to infty}{f(x)}=infty $ và $lim limits_{x to infty}{g(x)}=infty $

Để tìm được giới hạn dạng này thì thầy chia làm 2 trường hợp như sau:

Trường hợp hàm số $y=frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm hữu tỷ.

Ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất và áp dụng tính chất: $lim limits_{x to infty} {frac{1}{x^n}} =0$ với $n in N^*$. Hoặc các bạn cũng có thể làm bằng cách đặt nhân tử chung là ẩn có có lũy thừa bậc cao nhất.

Giả sử có hàm số $y=frac{2x^4+…}{4x^2+…}$ thì các bạn chia cả tử và mẫu cho $x^4$

Nếu có hàm số $y=frac{1+…+2x^3}{2-x^3+…}$ thì chia cả tử và mẫu cho $x^3$

Nếu có hàm số $y=frac{1+…+2x^3}{4+x^6+…}$ thì chia cả tử và mẫu cho $x^6$

Trường hợp hàm số $y=frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm vô tỷ (hàm chứa căn)

Với trường hợp này các bạn làm như sau:

Giả sử bậc của căn thức là $m$, bậc cao nhất của ẩn trong căn là $n$. Các bạn lấy thương của $frac{n}{m}$ và coi đây là bậc của căn thức đó. Sau đó các bạn hãy chia cả tử và mẫu của biểu thức cho lũy thừa cao nhất (giống trường hợp 1) hoặc thực hiện đặt nhân tử chung, sau đó đơn giản biểu thức.

Giả sử có biểu thức trên tử hoặc dưới mẫu là: $sqrt[3]{1-2x^2+x^3}$ thì các bạn biến đổi thành

  • $sqrt[3]{1-2x^2+x^3}$=$sqrt[3]{x^3.(frac{1}{x^3}-frac{2}{x}+1)}$ (Đặt nhân tử chung là $x^3$)
  • Hoặc $sqrt[3]{1-2x^2+x^3}=frac{sqrt[3]{1-2x^2+x^3}}{x}=sqrt[3]{frac{1-2x^2+x^3}{x^3}}$ (Chia cả tử và mẫu cho $x$). Vì $x^{frac{n}{m}}=x^{frac{3}{3}}=x$

Các bạn thấy nếu làm như vậy thì thật đơn giản phải không nào. Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng không có gì là phức tạp. Vậy nếu không có gì thắc mắc thêm thì chúng ta cùng đi nghiên cứu một vài bài tập áp dụng. Tuy nhiên các bạn có thể sẽ gặp phải sai lầm khi giải trường hợp 2 này đó. Để biết điều đó có thể sảy ra hay không, các bạn hãy theo dõi bài tập 2 nhé.

Có thể bạn quan tâm: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hooner hay

Bài tập giới hạn dạng vô cùng trên vô cùng

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a. $lim limits_{x to infty} {frac{3x^4+2x^2+1}{5x^3+3x+2}}$ $hspace{1.5cm}$ b. $lim limits_{x to infty} {frac{2x^3+2}{2x^3+3x^2}}$ $hspace{1.5cm}$ c. $lim limits_{x to infty} {frac{x+1}{3x^2+3x-9}}$

Xem thêm: Gợi ý 10+ bơi sải đúng cách hot nhất hiện nay

Hướng dẫn giải:

a. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 4, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Vậy Trong trường hợp này thầy sẽ sử dụng cách đặt nhân tử chung là $x^4$ trước rồi mới thực hiện phép chia.

$lim limits_{x to infty} {frac{3x^4+2x^2+1}{5x^3+3x+2}}$

$=lim limits_{x to infty} {frac{x^4(3+frac{2}{x^2}+frac{1}{x^4})}{x^4(frac{5}{x}+frac{3}{x^3}+frac{2}{x^4})}}$

$=lim limits_{x to infty} {frac{3+frac{2}{x^2}+frac{1}{x^4}}{frac{5}{x}+frac{3}{x^3}+frac{2}{x^4}}}$

$=frac{3}{0}$

$=infty$

Ở đây các bạn để ý $lim limits_{x to infty} {frac{2}{x^2}}=lim limits_{x to infty} {frac{1}{x^4}}=lim limits_{x to infty} {frac{5}{x}}=lim limits_{x to infty} {frac{3}{x^3}}=lim limits_{x to infty} {frac{2}{x^4}} =0$

Từ các ví dụ sau thầy sẽ không giải thích cụ thể chỗ này nữa nhé.

b. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 3, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Vậy ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc 3.

$lim limits_{x to infty} {frac{2x^3+2}{2x^3+3x^2}}$

$=lim limits_{x to infty}{frac{frac{2x^3+2}{x^3}}{frac{2x^3+3x^2}{x^3}}}$

$=lim limits_{x to infty}{frac{2+frac{2}{x^3}}{2+frac{3}{x}}}$

$=frac{2}{2} =1$

Với cách làm ở ý (a) và ý (b) các bạn chọn cách nào cũng đc, bạn thấy cách nào trình bày dễ nhìn, dễ hiểu thơn thì làm nhé.

Xem thêm: Tổng hợp 10+ cách chơi cờ cá ngựa hay nhất

c. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 1, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 2. Vậy ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc 2.

$lim limits_{x to infty} {frac{x+1}{3x^2+3x-9}}$

$=lim limits_{x to infty} {frac{x^2(frac{1}{x}+frac{1}{x^2})}{x^2(3+frac{3}{x}-frac{9}{x^2})}}$

$=lim limits_{x to infty} {frac{frac{1}{x}+frac{1}{x^2}}{3+frac{3}{x}-frac{9}{x^2}}}$

$=frac{0}{3}=0$

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

a. $lim limits_{x to +infty} {frac{sqrt{x^2+1}+x}{3x+5}}$ $hspace{1.5cm}$ b. $lim limits_{x to infty}{frac{x+3}{sqrt{x^2+1}}}$

Xem thêm: Gợi ý 10+ bơi sải đúng cách hot nhất hiện nay

Hướng dẫn giải:

a. Với ý (a) này các bạn thấy hàm số chứa căn bậc 2, biểu thức trong căn chứa lũy thừa bậc cao nhất là 2. Biểu thức ngoài căn chứa lũy thừa bậc cao nhất là 1. Vậy trong căn các bạn cần đặt nhân tử chung là $x^2$ (trùng với bậc của căn) để có thể khai căn được.

$lim limits_{x to +infty} {frac{sqrt{x^2+1}+x}{3x+5}}$

$=lim limits_{x to +infty} {frac{sqrt{x^2(1+frac{1}{x^2})}+x}{x(3+frac{5}{x})}}$

$=lim limits_{x to +infty} {frac{x.sqrt{1+frac{1}{x^2}}+x}{x(3+frac{5}{x})}}$

$=lim limits_{x to +infty} {frac{x.(sqrt{1+frac{1}{x^2}}+1)}{x(3+frac{5}{x})}}$

$=lim limits_{x to +infty} {frac{sqrt{1+frac{1}{x^2}}+1}{3+frac{5}{x}}}$

$=frac{1+1}{3} =frac{2}{3}$

Xem thêm: Tổng hợp 10+ cách bảo quản hàu bạn nên biết

Ở bước 3 các bạn thấy thầy khai căn $sqrt{x^2}=x$ được là vì sao không? Bởi vì $ x to +infty Rightarrow x>0$ do đó ta có thể khai căn một cách dễ dàng.

Thầy đã nói trong bài 2 này có thể sẽ sảy ra sai lầm khi các bạn tìm giới hạn, ý (a) chưa thấy sai lầm nào cả, vậy chắc chắn điều mà thầy nhắc tới sẽ nằm trong ý (b) này rồi. Chúng ta cùng tìm hiểu tiếp.

b. $lim limits_{x to infty}{frac{x+3}{sqrt{x^2+1}}}$

Chia cả tử và mẫu cho $x$ ta có:$lim limits_{x to infty}{frac{frac{x+3}{x}}{frac{sqrt{x^2+1}}{x}}}=lim limits_{x to infty}{frac{1+frac{3}{x}}{frac{sqrt{x^2+1}}{x}}}$

Giờ ta phải đưa $x$ vào căn. Nhưng vì chưa biết ẩn $x$ mang giá trị dương hay âm nên ta xét 2 trường hợp như sau:

TH1:

$x to +infty Rightarrow x>0 Rightarrow x=sqrt{x^2}$

Ta có: $lim limits_{x to +infty}{frac{1+frac{3}{x}}{frac{sqrt{x^2+1}}{x}}}=lim limits_{x to +infty}{frac{1+frac{3}{x}}{sqrt{frac{x^2+1}{x^2}}}}=lim limits_{x to +infty}{frac{1+frac{3}{x}}{sqrt{1+frac{1}{x^2}}}}=frac{1}{1}$

TH2:

$x to -infty Rightarrow x<0 Rightarrow x=-sqrt{x^2}$

Ta có: $lim limits_{x to -infty}{frac{1+frac{3}{x}}{frac{sqrt{x^2+1}}{x}}}=lim limits_{x to -infty}{frac{1+frac{3}{x}}{-sqrt{frac{x^2+1}{x^2}}}}=lim limits_{x to -infty}{frac{1+frac{3}{x}}{-sqrt{1+frac{1}{x^2}}}}=frac{1}{-1}=-1$

Vì $lim limits_{x to +infty}{frac{x+3}{sqrt{x^2+1}}}=1$ và $lim limits_{x to -infty}{frac{x+3}{sqrt{x^2+1}}}=-1$ nên không tồn tại :$lim limits_{x to infty}{frac{x+3}{sqrt{x^2+1}}}$

Các bạn cần chú ý trong ý (b) của bài 2 này khi mà bài toán cho giới hạn $x to infty$, tức là chúng ta chưa biết rõ tiến tới $-infty$ hay $+infty$. Khi đó các bạn cần xét hai trường hợp như trên. Nếu hai giới hạn tìm được có giá trị bằng nhau thì sẽ tồn tại giới hạn và giá trị của giới hạn hàm số chính bằng giá trị vừa tìm được đó. Ngược lại thì không tồn tại giới hạn. Đây có thể coi là sai lầm khi tìm giới hạn hàm số của mọi người.

Bạn có thể áp dụng cách giải dạng vô cùng trên vô cùng này bằng một cách giải khác, đó là sử dụng quy tắc L’Hopital. Nếu bạn quan tâm tới quy tắc L’Hopital thì xem bài giảng này tại link sau: Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc L’Hopital

Bạn có muốn xem thêm bài giảng: Chuyên đề phương trình đường thẳng trong Oxy

Lời kết

Như vậy thầy đã phân tích và hướng dẫn các bạn cách tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng xong rồi. Hãy nghiên cứu kĩ cách làm của thầy trong 2 bài tập ở trên, các bạn sẽ thấy giới hạn hàm số dạng vô cực trên vô cực này không khó làm, chỉ cần cẩn thận biến đổi và rút gọn thôi. Hãy ủng hộ thầy cái LIKE nếu thấy bài viết hữu ích với bạn nhé.

Top 8 các dạng vô định toán cao cấp tổng hợp bởi Bản Tin Nội Thất

các dạng vô định của giới hạn toan cao cap

  • Tác giả: 123docz.net
  • Ngày đăng: 11/02/2022
  • Đánh giá: 4.66 (365 vote)
  • Tóm tắt: Tìm kiếm các dạng vô định của giới hạn toan cao cap , cac dang vo dinh cua gioi han toan cao cap tại 123doc – Thư viện trực tuyến hàng đầu Việt Nam.

Chương 1. Giới hạn hàm số – P1: Các dạng vô định cơ bản – Các kỹ thuật tính giới hạn (1)

  • Tác giả: namtong.org
  • Ngày đăng: 03/26/2022
  • Đánh giá: 4.52 (226 vote)
  • Tóm tắt: Khoá học toán cao cấp 2 online miễn phí (free) trên youtube: + Chương 1: Giới hạn hàm số và các kỹ thuật tính giới hạn, tính liên tục của …

Xem thêm: Gợi ý 10 cách lấy lại facebook bằng gmail bạn nên biết

[SGK Scan] Các dạng vô định – Sách Giáo Khoa

  • Tác giả: sachgiaibaitap.com
  • Ngày đăng: 09/13/2022
  • Đánh giá: 4.3 (340 vote)
  • Tóm tắt: Giải Toán Lớp 11 · Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11 · Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao · Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao …

Các dạng vô định | SGK Toán lớp 11 – Loigiaihay.com

  • Tác giả: loigiaihay.com
  • Ngày đăng: 02/11/2022
  • Đánh giá: 4.06 (517 vote)
  • Tóm tắt: Phương pháp: – Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung. – Bước 2: Chia cả tử và …
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = + infty …

Xem thêm: Danh sách 12 cách chữa viêm nhũ hoa được đánh giá tốt

Các dạng vô định – Lý thuyết toán – Toan123.vn

  • Tác giả: toan123.vn
  • Ngày đăng: 09/16/2022
  • Đánh giá: 3.94 (265 vote)
  • Tóm tắt: Bài toán: Tính limx→±∞f(x)g(x) khi limx→±∞f(x)=limx→x0g(x)=±∞, trong đó f(x),g(x) là các đa thức. Phương pháp: – Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử …
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: Bài toán: Tính giới hạn $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]$ khi $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = 0$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = pm …

Giải Toán 11 nâng cao Bài 7: Các dạng vô định – VietJack.com

  • Tác giả: vietjack.com
  • Ngày đăng: 02/14/2022
  • Đánh giá: 3.76 (241 vote)
  • Tóm tắt: Bài 7: Các dạng vô định. Để học tốt Toán 11 nâng cao, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao được biên soạn …

Xem thêm: Danh sách 10+ cách tắt hay nhất

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số – Tài liệu, ebook, giáo trình

  • Tác giả: academia.edu
  • Ngày đăng: 06/09/2022
  • Đánh giá: 3.51 (559 vote)
  • Tóm tắt: Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số – Tài liệu, ebook, giáo trình. Profile image of Pham Hai Pham Hai. Continue Reading.

Các dạng bài Tìm giới hạn hàm số dạng vô định có đáp án – Toán lớp 11

  • Tác giả: haylamdo.com
  • Ngày đăng: 03/10/2022
  • Đánh giá: 3.37 (267 vote)
  • Tóm tắt: Các dạng bài Tìm giới hạn hàm số dạng vô định có đáp án – Toán lớp 11 – Chuyên … hạn hàm số dạng vô định từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Nguồn: https://bantinnoithat.com
Danh mục: Toplist

Recommended For You